admin 
Vienas iš būdų suprasti jos struktūrą yra išsiaiškinti, kokius pogrupius sudaro grupė. Pavyzdžiui, pogrupiai Z6 yra {0}, {0, 2, 4} ir {0, 3} – trivialus pogrupis, 2 kartotiniai ir 3 kartotiniai. D6sukimai sudaro pogrupį, bet atspindžiai – ne. Taip yra todėl, kad du atspindžiai, atliekami iš eilės, sukelia sukimąsi, o ne atspindį, kaip ir pridėjus du nelyginius skaičius gaunamas lyginis.
Tam tikri pogrupių tipai, vadinami „įprastais“ pogrupiais, yra ypač naudingi matematikams. Komutacinėje grupėje visi pogrupiai yra normalūs, tačiau tai ne visada tiesa apskritai. Šie pogrupiai išlaiko kai kurias naudingiausias komutaciškumo savybes, neverčiant visos grupės būti komutaciniais. Jei galima nustatyti normalių pogrupių sąrašą, grupes galima suskaidyti į komponentus, panašiai kaip sveikieji skaičiai gali būti skaidomi į pirminių skaičių sandaugas. Grupės, neturinčios normalių pogrupių, vadinamos paprastomis grupėmis ir negali būti toliau skaidomos, kaip ir pirminiai skaičiai negali būti įskaitomi. Grupė Zn yra paprasta tik tada, kai n yra pirminis – pavyzdžiui, 2 ir 3 kartotiniai sudaro normalius pogrupius Z6.
Tačiau paprastos grupės ne visada yra tokios paprastos. „Tai didžiausias klaidingas matematikos pavadinimas“, – sakė Hartas. 1892 m. matematikas Otto Hölderis pasiūlė tyrėjams sudaryti pilną visų galimų baigtinių paprastų grupių sąrašą. (Begalinės grupės, tokios kaip sveikieji skaičiai, sudaro savo studijų sritį.)
Pasirodo, beveik visos baigtinės paprastos grupės atrodo taip Zn (pirminėms vertėms n) arba patenka į vieną iš dviejų kitų šeimų. Ir yra 26 išimtys, vadinamos sporadinėmis grupėmis. Juos prisegti ir parodyti, kad nėra kitų galimybių, prireikė daugiau nei šimtmetį.
Didžiausia sporadinė grupė, taikliai vadinama pabaisų grupe, buvo atrasta 1973 m. Ji turi daugiau nei 8 × 1054 elementus ir vaizduoja geometrinius sukimus erdvėje, kurioje yra beveik 200 000 matmenų. „Tai tiesiog beprotiška, kad šį daiktą gali rasti žmonės“, – sakė Hartas.
Devintajame dešimtmetyje didžioji dalis darbų, kurių prašė Hölderis, atrodė, buvo baigti, tačiau buvo sunku parodyti, kad ten nebėra pavienių grupių. Klasifikavimas dar labiau atidėtas, kai 1989 m. bendruomenė aptiko spragų viename 800 puslapių devintojo dešimtmečio pradžios įrodyme. Pagaliau 2004 m. buvo paskelbtas naujas įrodymas, užbaigęs klasifikaciją.
Daugelis šiuolaikinės matematikos struktūrų – pavyzdžiui, žiedai, laukai ir vektorinės erdvės – sukuriamos, kai į grupes įtraukiama daugiau struktūrų. Žieduose galite dauginti, sudėti ir atimti; laukuose galima ir skirstyti. Tačiau po visomis šiomis sudėtingesnėmis struktūromis slypi ta pati originali grupės idėja su keturiomis aksiomomis. „Turtingumas, kuris įmanomas šioje struktūroje, laikantis šių keturių taisyklių, pribloškia“, – sakė Hartas.
Originali istorija perspausdintas leidus Quanta Magazine, redakciškai nepriklausomas leidinys Simonso fondas kurios misija yra didinti visuomenės supratimą apie mokslą, įtraukiant matematikos ir fizinių bei gyvosios gamtos mokslų tyrimų raidą ir tendencijas.
